Nombres complexes - Expert

Soit les vecteurs \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\) ayant pour affixe respectivement \(z_\overrightarrow{BA}= - \dfrac{9}{2} - \dfrac{9}{2}i\sqrt{3}\) et \(z_\overrightarrow{BC} = 2 -2i\sqrt{3}\).

Donner la mesure principale de l'angle \((\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})\)

Soient les points \(A\) et \(B\) ayant pour affixe respectivement \(z_A = -3 + 4i\), \(z_B = -2 + 7i\).
Calculez la distance qui sépare ces deux points.

Trouver le ou les nombres solutions de l'équation \( z^{4}=4^{4} \)

Soit trois points \(A\), \(B\) et \(C\) ayant pour affixe, respectivement, \(z_A = \dfrac{9}{2} + \dfrac{9}{2}i\sqrt{3}\), \(z_B = \dfrac{9}{2} + i\left(48 + \dfrac{9}{2}\sqrt{3}\right)\) et \(z_C = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i\sqrt{3}\).

Calculer et mettre sous forme exponentielle : \[z = \frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\]

En déduire la nature du triangle \(ABC\) ?
On caractérisera au mieux ce triangle, ex: s'il est isocèle et rectangle, isocèle simplement ne sera pas une réponse correcte.

Soit les points \(A\), \(B\) et \(C\) ayant pour affixe respectivement \(z_a = -2 -7i\), \(z_b = 7 -7i\) et \(z_c = -7 -9i\).
Soit \(D\) le point tel que \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).

Donner l'affixe \(z_d\) du point \(D\) sous sa forme algébrique.